Question

设函数f（x）=ax-

b

x

，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=5x-8
（1）求f（x）的解析式；
（2）若曲线y=f（x）上的任一点P（x₀，y₀）处的切线与直线x=0及直线y=x分别相交于A、B两点，O为坐标原点，求证：△AOB的面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（1，f（1））在曲线上，利用方程联立解出a，b
（2）可以设P（x₀，y₀）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可．

解答： （1）解：方程y=5x-8，当x=1时，y=-3，
∵f（x）=ax-

b

x

，
∴f′（x）=a+

b

x2

，
∴

a+b=5 a-b=-3

解得a=1，b=4，故f（x）=x-

4

x

．
（2）证明：设P（x₀，y₀）为曲线上任一点，由f′（x）=1+

4

x2

知曲线在点P（x₀，y₀）处的切线方程为
y-y₀=（1+

4

x02

）（x-x₀）
令x=0，得y=-

8

x0

，从而得切线与直线x=0的交点坐标为（0，-

8

x0

）；
令y=x，得y=x=2x₀，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x₀，2x₀）；
∴点P（x₀，y₀）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为

1

2

|-

8

x0

||2x₀|=8．
故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为8．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和围成图形的面积，同时考查了运算求解的能力和转化的思想，属于中档题．