Question

函数f（x）=x²+2x-1．
（Ⅰ）若定义域为[-2，3]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）的值域为[-2，2]，且定义域为[a，b]，求b-a的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用函数解析式可求得函数图象的对称轴，对称轴与函数图象的交点时的函数值为函数的最小值，离对称轴较远的点为纵坐标的函数图象上的点的函数值为最大值．
（Ⅱ）函数的最小值恰是已知值域的最小值，判断出x=-1在定义域区间里，在求f（x）=2求得x的值，进而求得b-a的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2x-1，
∴对称轴为x=-1
∴f（x）的值域为[f（-1），f（3）]，即[-2，14]；       
（Ⅱ）∵x=-1时，f（-1）=-2恰是f（x）的最小值，
∴x=-1∈[a，b]，令，2=x²+2x-1，得x₁=-3，x₂=1，
据f（x）的图象知b-a的最大值是4．

点评：本题主要考查了二次函数的性质．对二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点及与y轴，x轴的交点都是我们解题要特别注意的地方．