Question

9．实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≤4}\\{x+y-2≥0}\\{x-y+8≥0}\end{array}\right.$，若z=$\frac{1}{2}$ax+y的最大值为2a+12，最小值为2a-2，则a的取值范围是[-2，2]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由z=$\frac{1}{2}$ax+y得y=-$\frac{1}{2}$ax+z，直线y=-$\frac{1}{2}$ax+z是斜率为-$\frac{1}{2}$a，y轴上的截距为z的直线，
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≤4}\\{x+y-2≥0}\\{x-y+8≥0}\end{array}\right.$对应的平面区域如图：
则A（4，12），B（-3，5），C（4，-2），
∵z=$\frac{1}{2}$ax+y的最大值为2a+12，最小值为2a-2，
若a=0，则y=z，此时z=$\frac{1}{2}$ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，
若a＞0，则目标函数斜率k=-$\frac{1}{2}$a＜0，
要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，
则目标函数的斜率满足-$\frac{1}{2}$a≥k_BC=-1，
即a≤2，可得a∈（0，2]．
若a＜0，则目标函数斜率k=-$\frac{1}{2}$a＞0，
要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得-$\frac{1}{2}$a≤k_BA=1
∴-2≤a＜0，综上a∈[-2，2]
故答案为：[-2，2]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．