已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左.右焦点分别为F1.F2.上顶点为A.点$P$在椭圆C上.过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点B.且$2\overrightarrow{{F 1}{F 2}}+\overrightarrow{{F 2}B}=\overrightarrow 0$．(1)求椭圆C的方程,的直线m与椭圆C相交于不同的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，点$P（{1，\frac{3}{2}}）$在椭圆C上，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点B，且$2\overrightarrow{{F_1}{F_2}}+\overrightarrow{{F_2}B}=\overrightarrow 0$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点Q（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得36|QP|²=35|QM|•|QN|？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

分析（1）设出B的坐标，根据$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{AB}$=0，以及F₁为F₂B的中点，求出a=2c，得到关于a，b，c的方程，求出椭圆的方程即可；
（2）设直线m的范围为y=k（x-4），联立方程组得到（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，求出k的范围，设M（x₁，y₁），N （x₂，y₂），得到关于k的方程，解出即可．

解答解：（1）设B（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b），
得$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（-c，b），$\overrightarrow{AB}$=（x₀，-b），
∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{AB}$=0，∴-cx₀-b²=0，
∴x₀=-$\frac{{b}^{2}}{c}$，
∵2$\overrightarrow{{{F}_{1}F}_{2}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，
∴F₁为F₂B的中点，
∴-$\frac{{b}^{2}}{c}$+c=-2c，
∴b²=3c²=a²-c²，
∴a=2c，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}=1}\\{a=2c}\\{{a}^{2}{=b}^{2}{+c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}=1}\\{{b}^{2}=3}\\{{a}^{2}=4}\end{array}\right.$，
∴椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由题意得直线m的斜率存在，
∴可设直线m的范围为y=k（x-4），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
由△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，
解得：-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$，
设M（x₁，y₁），N （x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{3{2k}^{2}}{3+{4k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6{4k}^{2}-12}{3+{4k}^{2}}$，
∵|PQ|²=$\frac{45}{4}$，∴|QM|•|QN|=$\frac{81}{7}$，
又|QM|•|QN|=$\sqrt{{（4{-x}_{1}）}^{2}{{+y}_{1}}^{2}}$×$\sqrt{{（4{-x}_{2}）}^{2}{{+y}_{2}}^{2}}$
=（k²+1）[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]=（k²+1）•$\frac{36}{3+{4k}^{2}}$，
∴（k²+1）•$\frac{36}{3+{4k}^{2}}$=$\frac{81}{7}$，
解得：k=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，经检验成立，
∴直线方程是y=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）即$\sqrt{2}$x+4y-4$\sqrt{2}$=0或$\sqrt{2}$x-4y-4$\sqrt{2}$=0．

点评本题考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆位置关系的问题，考查分析理解与计算能力．

练习册系列答案

15．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-6≤0}\\{x-y-1≤0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，若z=ax+2y仅在点（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{3}$）处取得最大值，则a的值可以为（　　）

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x＜0}\\{m-{x}^{2}，x≥0}\end{array}\right.$，给出下列两个命题：命题p：?m∈（-∞，0），方程f（x）=0有实数解；命题q：当m=$\frac{1}{4}$时，f（f（-1））=0，则下列命题为真命题的是（　　）

19．在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．

	坐标系与参数方程		不等式选讲
人数及均分	人数	均分	人数	均分
男同学	14	8	6	7
女同学	8	6.5	12	5.5

（Ⅰ）求全班选做题的均分；
（Ⅱ）据此判断是否有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关？
（Ⅲ）已知学习委员甲（女）和数学科代表乙（男）都选做《不等式选讲》．若在《不等式选讲》中按性别分层抽样抽取3人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．
参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，n=a+b+c+d．
下面临界值表仅供参考：

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

9．实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≤4}\\{x+y-2≥0}\\{x-y+8≥0}\end{array}\right.$，若z=$\frac{1}{2}$ax+y的最大值为2a+12，最小值为2a-2，则a的取值范围是[-2，2]．

16．以下四个命题中，真命题是（　　）

	A．	?x∈（0，π），sinx=tanx
	B．	“?x∈R，x²+x+1＞0”的否定是“?x₀∈R，x₀²+x₀+1＜0”
	C．	?θ∈R，函数f（x）=sin（2x+θ）都不是偶函数
	D．	条件p：$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞4}\\{xy＞4}\end{array}\right.$，条件q：$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{y＞2}\end{array}\right.$则p是q的必要不充分条件

13．已知函数f（x）=alnx+2a，g（x）=x+$\frac{a}{x}$（其中a为常数，a∈R）．
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，是否存在实数a，使得对于任意x₁、x₂∈[1，e]时，不等式f（x₁）-g（x₂）＞0恒成立？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）

13．双曲线实半轴长为2，焦点为（-3，0）、（3，0），则该双曲线为（　　）

A．

$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1

B．

$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1

C．

$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1

D．

$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1

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