已知A.B.C是球O的球面上三点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为1.则球O的体积为8π．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．已知A，B，C是球O的球面上三点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为1，则球O的体积为8π．

分析当点C位于垂直于面AOB的直径端点且∠AOB=90°时，三棱锥O-ABC的体积最大，利用三棱锥O-ABC体积的最大值为1，求出半径，即可求出球O的体积．

解答解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点且∠AOB=90°时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V_O-ABC=V_C-AOB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×R×R×R$=1，
∴R³=6，则球O的体积为$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=8π．
故答案为8π．

点评本题考查球的半径，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大是关键．

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