Question

18．已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与曲线相交于M，N两点，若$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{MF}$，则|MN|=（　　）

• A． $\frac{21}{2}$
• B． $\frac{32}{3}$
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y²=8x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长．

解答 解：抛物线C：y²=8x的焦点为F（2，0），准线为l：x=-2，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），M，N到准线的距离分别为d_M，d_N，
由抛物线的定义可知|MF|=d_M=x₁+1，|NF|=d_N=x₂+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x₁+x₂+4．
∵$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{MF}$，
∴直线AB的斜率为±$\sqrt{3}$，
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=±$\sqrt{3}$（x-2），
将y=±$\sqrt{3}$（x-2），代入方程y²=8x，得3（x-2）²=8x，化简得3x²-20x+12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{20}{3}$，于是|MN|=|MF|+|NF|=x₁+x₂+4=$\frac{20}{3}$+4=$\frac{32}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．