Question

若方程

x+2

+k=x有两个根，求k的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：原方程化成：

x+2

=x-k，由题意得，直线y=x-k和曲线y=

x+2

有两个交点，求出曲线的切线的斜率，以及过点A直线的斜率，即得取值范围．

解答： 解：关于x的方程：

x+2

+k=x，即

x+2

=x-k，由题意得
直线y=x-k和曲线y=

x+2

有两个交点，
如图所示：A（-2，0），
由

x+2

=x-k得 x+2=（x-k）²，△=0，∴k=-

9

4

，故曲线的切线方程的斜率为-

9

4

，
当直线过A点时，斜率 k=-2，故实数k的取值范围为（-

9

4

，-2]，

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，体现了数形结合的数学思想，求出抛物线的切线斜率和过A的直线的斜率是解题的关键．