Question

如图所示，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AB=8，AC=6，BC=10，D是BC边的中点．
（1）求证：AB⊥

A

1

C；   
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明出AB⊥AC和AA₁⊥AB利用先线面垂直的判定定理证明出AB⊥平面A₁ACC₁最后根据线面垂直的性质证明出AB⊥A₁C．
（2）连结A₁B交AB₁于点E，再连结DE，先利用中位线的性质证明出ED∥A₁C，继而可利用线面平行的判定定理证明出A₁C∥平面AB₁D．

解答： 证明：（1）∵AB=8，AC=6，BC=10，
∴AB²+AC²=BC²
∴AB⊥AC，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABCAB?面ABC，
∴AA₁⊥AB
又∵AA₁∩AC=AAA₁?面A₁ACC₁AC?面A₁ACC₁
∴AB⊥平面A₁ACC₁
且A₁C?面A₁ACC₁
∴AB⊥A₁C．
（2）连结A₁B交AB₁于点E，再连结DE，
∵D是BC边的中点．
∴DE为△BCA₁的中位线，
∴ED∥A₁C，
∵ED?平面AB₁D，且A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥面AB₁D．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用，考查了学生空间观察能力和分析的能力．