Question

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然对数的底数时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f（x）=x²+x-lnx，x＞0，得f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x

，从而f（x）在（0，

1

2

）递减，在（

1

2

，+∞）递增；
（Ⅱ）由f′（x）=

2x2+ax-1

x

，当函数f（x）在[1，2]上是减函数时，得f′（1）=2+a-1≤0①，f′（2）≤0得a范围是（-∞，

7

2

）；
（Ⅲ）∵f（x）=x²+ax-lnx，求出函数的导数，讨论a≤0，0＜

1

a

＜e，

1

a

≥e的情况，从而得出答案．

解答： 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x²+x-lnx，x＞0
∴f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞

1

2

，x＜-1（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

1

2

，
∴f（x）在（0，

1

2

）递减，在（

1

2

，+∞）递增；
（Ⅱ）∵f′（x）=

2x2+ax-1

x

，
当函数f（x）在[1，2]上是减函数时，
得f′（1）=2+a-1≤0①，
f′（2）=8+2a-1≤0②，
由①②得：a≤-

7

2

，
∴a的范围是（-∞，

7

2

）；
（Ⅲ）∵f（x）=x²+ax-lnx，
∴g（x）=f（x）-x²=ax-lnx，x∈（0，e]．
∴g′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

（0＜x≤e），
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，解得a=

4

e

（舍去）；
②当0＜

1

a

＜e时，g（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，e]上单调递增，
∴g（x）_min=g（

1

a

）=1+lna=3，解得a=e²，满足条件；
③当

1

a

≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，解得a=

4

e

（舍去）；
综上，存在实数a=e²，使得当x∈（0，e]时，g（x）有最小值3．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道综合题．