Question

11．设f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=$\sqrt{3}$tan$\frac{πx}{6}$，若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-ax-a=0恰有3个不同实数根，则正数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{3}{7}$，1）
• B． （$\frac{3}{4}$，1）
• C． （0，$\frac{3}{7}$）
• D． （0，$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 由已知求出x∈[-2，0]的函数解析式，结合函数是周期为4的偶函数作出y=f（x）在（-2，6）内的图象，直线y=ax+a恒过定点（-1，0），数形结合得答案．

解答 解：设x∈[-2，0]，则-x∈[0，2]，
∴f（-x）=$\sqrt{3}tan\frac{-πx}{6}$=$-\sqrt{3}tan\frac{πx}{6}$．
∵f（x）是偶函数，∴f（x）=$-\sqrt{3}tan\frac{πx}{6}$，x∈[-2，0]．
在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-ax-a=0恰有3个不同实数根，即f（x）=ax+a恰有3个不同实数根，
也就是函数y=f（x）的图象与y=ax+a的图象恰有3个不同的交点．
作出函数图象如图：

直线y=ax+a恒过定点（-1，0），经过两点（-1，0）、（6，3）的直线的斜率为$\frac{3-0}{6-（-1）}=\frac{3}{7}$；
经过两点（-1，0）、（2，3）的直线的斜率为$\frac{3-0}{2-（-1）}=1$．
∴若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-ax-a=0恰有3个不同实数根，
则正数a的取值范围是（$\frac{3}{7}，1$）．
故选：A．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．