Question

（1）设直线l₁：y=2x与直线l₂：x+y=3交于点P，当直线l过P点，且原点O到直线l的距离为1时，求直线l的方程．
（2）已知圆C：x²+y²+4x-8y+19=0，过点P（-4，5）作圆C的切线，求切线方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线的一般式方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）考虑两种情况：①斜率不存在即所求直线与y轴平行时，容易直线的方程；②斜率存在时，设出直线的斜截式，然后利用点到直线的距离公式列出原点到直线l的距离的方程，求出斜率k即可得到方程；
（2）化圆的方程为标准方程，利用点线距离等于半径，可求切线方程，应注意有两条．

解答： 解：（1）当过点A（1，2）的直线与x轴垂直时，
则点A（1，2）到原点的距离为1，所以x=1为所求直线方程．
当过点A（1，2）且与x轴不垂直时，可设所求直线方程为y-2=k（x-1），
即：kx-y-k+2=0，由题意有

|-k+2|

k2+1

=1，解得k=

3

4

，
故所求的直线方程为y-2=

3

4

（x-1），即3x-4y+5=0．
综上，所求直线方程为x=1或3x-4y+5=0．
（2）由C：x²+y²+4x-8y+19=0得圆的标准方程为（x+2）²+（y-4）²=1．
①显然y=5为圆的切线
②另一方面，设过（-4，5）的圆的切线方程为y-5=k（x+4），即kx-y+5+4k=0；
所以d=

|-2k-4+5+4k|

k2+1

=1，解得k=-

4

3

，∴切线方程为4x+3y+1=0．
综上所述，切线方程为y=5或4x+3y+1=0．

点评：本题考查圆的切线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．