题目内容
已知数列{an}的首项a1=1，且满足an+1=
（n∈N+）．
（1）求证：数列{
}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=
，求数列{bn}的前项和为Tn．
| an |
| 2an+1 |
（1）求证：数列{
| 1 |
| an |
（2）记bn=
| 2n |
| an |
考点：数列的求和,等差数列的性质
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）由an+1=
，得
=2+
，由此可判断{
}为等差数列，可求
，进而得到an
（2）求出bn，利用错位相减法可求Tn．
| an |
| 2an+1 |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
（2）求出bn，利用错位相减法可求Tn．
解答：
解：（1）由an+1=
，得
=2+
，
又
=1，
∴{
}为等差数列，首项为1，公差为2，
∴
=1+（n-1）×2=2n-1，
∴an=
．
（2）bn=
=（2n-1）•2n，
Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）•2n①，
2Tn=1×22+3×23+5×23+…+（2n-1）•2n+1②，
①-②得，-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2×2n-（2n-1）•2n+1
=2+23+24+…+2n+1-（2n-1）•2n+1
=2+
-（2n-1）•2n+1
=（3-2n）•2n+1-6，
∴Tn=(2n-3)•2n+1+6．
| an |
| 2an+1 |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
又
| 1 |
| a1 |
∴{
| 1 |
| an |
∴
| 1 |
| an |
∴an=
| 1 |
| 2n-1 |
（2）bn=
| 2n |
| an |
Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）•2n①，
2Tn=1×22+3×23+5×23+…+（2n-1）•2n+1②，
①-②得，-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2×2n-（2n-1）•2n+1
=2+23+24+…+2n+1-（2n-1）•2n+1
=2+
| 23(1-2n-1) |
| 1-2 |
=（3-2n）•2n+1-6，
∴Tn=(2n-3)•2n+1+6．
点评：该题考查等差数列的性质、数列求和等知识，考查学生的运算求解能力、转化能力，错位相减法是数列求和的重要方法，要熟练．
练习册系列答案
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要得到函数y=2cos2x的图象，需要把函数y=sin2x的图象（ ）
A、向右平移
| ||
B、向左平移
| ||
C、向左平移
| ||
D、向右平移
|
如图所示，正四棱锥P=ABCD中，AB=1，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为