Question

如图所示，正四棱锥P=ABCD中，AB=1，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为

2

2

．
（1）求二面角P-CD-A的大小．
（2）设点F在AD上，AF=

1

3

AD，求点A到平面PBF的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC、BD交于点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，设E为CD的中点，连结PE、OE，∠PEO就是二面角P-CD-AD的平面角，由此能求出二面角P-CD-A的大小．
（2）过O作OM⊥BF于M，连结PM，则由于PO⊥平面ABCD，PM⊥BF，作OH⊥PM于H，OH的长就等于点O到平面PBF的距离，由此能求出点A到到平面PBF的距离．

解答： 解：（1）连结AC、BD交于点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD
∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，tan∠PAO=

2

2

，
PO=AO•tan∠PAO=

1

2

，
设E为CD的中点，连结PE、OE，
则OE⊥CD，PE⊥CD，
∴∠PEO就是二面角P-CD-AD的平面角，
在Rt△PEO中，tan∠PAO=

PO

OE

=1，
即∠PAO=

π

4

，
∴二面角P-CD-A的大小为

π

4

．
（2）过O作OM⊥BF于M，
连结PM，则由于PO⊥平面ABCD，PM⊥BF，
∴BF⊥平面POM，平面POM⊥平面PBF，作OH⊥PM于H，
则OH⊥平面PBF，
即OH的长就等于点O到平面PBF的距离，
∵AF=

1

3

AD=

1

3

BC，设AC与BF交于点N，
则AN=

1

3

NC，AN=NO
∴点A到平面PBF的距离就等于点O到平面PBF的距离，
作AQ⊥BF于Q，则AQ=OM=

10

10

，
在Rt△PMH中，OH=

PO•OM

PM

=

14

14

，
故点A到到平面PBF的距离为

14

14

．

点评：本题考查二面角的大小的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．