Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且当x＞0时，满足

f(x)

x

＞f′（x）．
（Ⅰ）判断函数y=

f(x)

x

在（0，+∞）上的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）三个同学对问题“已知m、n∈N^*且n＞m≥2，证明（1+m）ⁿ＞（1+n）^m”提出各自的解题思路．
甲说：“用二项式定理将不等式的左右两边展开，运用放缩法即可证明”
乙说：“通过转化，构造函数，利用函数的单调性即可证明”
参考上述解题思路，结合自己的知识，请你证明此不等式．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）中通过求导函数，判断出其导数值为负，从而得出是单调减函数；（2）通过转化，构造函数，利用函数的单调性即可证明．

解答： 解：（1）∵y′=[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

，
又∵

f(x)

x

＞f′(x)，
所以当x＞0时，f（x）＞xf′（x）
∴

xf′(x)-f(x)

x2

＜0即：y′＜0，
因此函数y=

f(x)

x

在（0，+∞）上是单调递减函数．
（2）∵n＞m≥2，
   设f（x）=

ln(1+x)

x

（x∈R，且x≥2），
∴f（x）=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
∵x≥2，
∴0＜

x

1+x

＜1，
∴ln（1+x）≥ln（1+2）=ln3＞1，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在[2，+∞）上是减函数
∵n＞m≥2，
∴

ln(1+m)

m

＞

ln(1+n)

n

∴nln（1+m）＞mln（1+n），
∴（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．