Question

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）．
（1）若f（

π

2

）=-

2

3

，求f（0）的值．
（2）求满足f（x）＞-

A

2

的x的取值范围．
（3）若A=1，令g（x）=f（

1

3

x+

π

12

），求方程lg|x|=2g（x）的解的个数．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再由f（

π

2

）=-

2

3

求出A，可得f（0）的值．
（2）由不等式f（x）＞-

A

2

，可得cos（3x-

π

4

）＞-

1

2

，可得-

2π

3

+2kπ＜3x-

π

4

＜

2π

3

+2kπ，k∈z．由此求得
x的取值范围．
（3）由题意可得g（x）=f（

1

3

x+

π

12

）=cosx，数形结合求出函数y=lg|x|的图象和函数y=2cosx的图象在（0，+∞）上的交点个数，再乘以2，即得所求．

解答： 解：（1）首先由图象可知所求函数的周期为

2

3

π，故ω=3，将（

11π

12

，0）代入解析式，
相当于余弦函数“五点法”作图中的第二关键点，可得

11

4

π+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z），
所以φ=-

π

4

+2kπ（k∈Z），令φ=-

π

4

，代入解析式得f（x）=Acos（3x-

π

4

）．
又因为f（

π

2

）=-

2

3

=-Acos

π

4

=-

2

3

，∴A=

2 2

3

，
所以f（0）=Acos（-

π

4

）=Acos

π

4

=

2

3

．
（2）f（x）＞-

A

2

，即 Acos（3x-

π

4

）＞-

A

2

，∴cos（3x-

π

4

）＞-

1

2

，
∴-

2π

3

+2kπ＜3x-

π

4

＜

2π

3

+2kπ，k∈z．
解得

2kπ

3

-

5π

36

＜x＜

2kπ

3

+

11π

36

，k∈z，
故满足f（x）＞-

A

2

的x的取值范围为（

2kπ

3

-

5π

36

，

2kπ

3

+

11π

36

），k∈z．
（3）∵A=1，∴f（x）=cos（3x-

π

4

），则g（x）=f（

1

3

x+

π

12

）=cos[3（

x

3

+

π

12

）-

π

4

]=cosx，
求方程lg|x|=2g（x）的解的个数，即函数y=lg|x|的图象和函数y=2cosx的图象的交点个数，
由于这2个函数都是偶函数，它们的图象都关于轴对称，
故只需考虑函数y=lg|x|的图象和函数y=2cosx的图象在（0，+∞）上的交点个数即可．
如图所示：
在一个周期[0，2π）上，交点个数为2，在[0，30π]上，2个函数图象交点个数为15×2=30，
且lg100=2，故函数y=lg|x|的图象和函数y=2cosx的图象在（0，+∞）上的交点个数为30，
故函数y=lg|x|的图象和函数y=2cosx的图象在（-∞，+∞）上的交点个数为60．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角不等式的解法，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．