Question

如图，四边形 ABCD 为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD，
（1）证明：PQ⊥平面DCQ；  
（2）求四面体P一DCQ的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由条件知PDAQ为直角梯形，因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理可得DC⊥平面PDAQ，进而PQ⊥DC，由勾股定理可得PQ⊥DQ，最后由线面垂直的判定定理可得答案；
（2）设AB=a，由（1）知PQ为棱锥P-DCQ的高，求出棱锥的底面面积，可得四面体P一DCQ的体积．

解答： 证明：（1）由条件知PDAQ为直角梯形，
∵QA⊥平面ABCD，QA?平面PDAQ，
∴平面PDAQ⊥平面ABCD，
又∵平面PDAQ∩平面ABCD=AD
四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
∴DC⊥平面PDAQ，
∵PQ?平面PDAQ，
∴PQ⊥DC
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=

2

2

PD，则PQ⊥DQ，
又DQ∩DC=D，DQ，DC?平面DCQ
∴PQ⊥平面DCQ；
解：（2）设AB=a，由（1）知PQ为棱锥P-DCQ的高而PQ=

2

a．
△DCQ的面积为

2

2

a2．
所以棱锥P-DCQ的体积V=

1

3

a³

点评：本题考查空间中线面垂直的判定方法，考查学生的转化与化归能力，将线面垂直转化为线线垂直，注意步骤的规范性，考查学生对锥体的体积的计算方法的认识，考查学生的几何计算知识．