题目内容
（本小题满分12分）
如图3，在正三棱柱
中，AB=4，
,点D是BC的中点，
点E在AC上，且DE
E。
（Ⅰ）证明：平面
平面
；
（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。
如图3，在正三棱柱
中，AB=4，,点D是BC的中点，点E在AC上，且DE
E。（Ⅰ）证明：平面
平面；（Ⅱ）求直线AD和平面
所成角的正弦值。（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ）
（Ⅱ）
（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知
平面
.
又DE
平面ABC，所以DE
.而DEE，
,
所以DE⊥平面.又DE平面，
故平面⊥平面.
（Ⅱ）过点A作AF垂直
于点
,
连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，
所以AF平面,故
是直线AD和
平面所成的角。因为DE，
所以DEAC.而
ABC是边长为4的正三角形，
于是AD=
，AE=4-CE=4-
=3.
又因为，所以E= 
= 4,
, 
.
即直线AD和平面所成角的正弦值为。
的性质知平面.又DE
平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE⊥平面
.又DE平面，故平面
⊥平面.（Ⅱ）过点A作AF垂直
于点,连接DF.由（Ⅰ）知，平面
⊥平面，所以AF
平面,故是直线AD和平面
所成的角。因为DE，所以DE
AC.而ABC是边长为4的正三角形，于是AD=
，AE=4-CE=4-=3.又因为
，所以E= = 4, , .即直线AD和平面
所成角的正弦值为。
练习册系列答案
相关题目
的底面为直角梯形，
，
，
，
，
底面
，
为
的中点.
平面
；
与平面
所成的角；
到平面
中，底面
为矩形，侧面
底面
，
，
。
；
与平面
所成的角为
，求二面角
的大小。
BD
,AC=3,BC=
,D是A1C的中点E是侧棱BB1上的一动点。
的值
的值，不存在则说明理由。
,设这条最短路线与CC1的交
，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图（2）. 
