Question

如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角；
（Ⅲ）求点到平面的距离.

Answer 1

（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）直线与平面所成的角为
（Ⅲ）点到平面的距离等于

（Ⅰ）设与交点为，延长交的延长线于点，
则，∴，∴，∴，
又∵，∴，
又∵，∴，
∴，∴
又∵底面，∴，∴平面，
∵平面，∴平面平面…………………………………（4分）
（Ⅱ）连结，过点作于点，
则由（Ⅰ）知平面平面，
且是交线，根据面面垂直的性质，
得平面，从而即
为直线与平面所成的角.
在中，，
在中，
. 所以有，
即直线与平面所成的角为…………………………………（8分）
（Ⅲ）由于，所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的，即. 在中，，
从而点到平面的距离等于………………………………………………（12分）
解法二：如图所示，以点为坐标原点，
直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，
则相关点的坐标为
，，，.
（Ⅰ）由于，，         
，         
所以，
，
所以，
而，所以平面，∵平面，
∴平面平面……………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）设是平面的一个法向量，则，
由于，，所以有
，
令，则，即，
再设直线与平面所成的角为，而，
所以，
∴，因此直线与平面所成的角为………………（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，而，
所以点到平面的距离为