Question

20．已知F₁，F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{4}$，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长a₂，焦距2c．由椭圆及双曲线定义用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|，在△F₁PF₂中根据余弦定理可得到a₁，a₂与c的关系，转化为离心率，再由基本不等式得结论．

解答 解：如图，设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长为a₂，则根据椭圆及双曲线的定义：
|PF₁|+|PF₂|=2a₁，|PF₁|-|PF₂|=2a₂，
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，
设|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=$\frac{π}{4}$，则：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，
4c²=（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²-2（a₁+a₂）（a₁-a₂）cos$\frac{π}{4}$，
化简得：（$2-\sqrt{2}$）a₁²+（$2+\sqrt{2}$）a₂²=4c²，
即$\frac{2-\sqrt{2}}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{2+\sqrt{2}}{{{e}_{2}}^{2}}=4$，
又∵$\frac{2-\sqrt{2}}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{2+\sqrt{2}}{{{e}_{2}}^{2}}≥\frac{2\sqrt{{2}^{2}-2}}{{e}_{1}•{e}_{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{{e}_{1}•{e}_{2}}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{{e}_{1}•{e}_{2}}≤4$，即e₁•e₂≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来，是中档题．