Question

在等差数列{a_n}中，a₁=1，a₅=9．
（1）求a₃；
（2）记b_n=2^a_n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（3）对于（2）中的S_n，求函数f（n）=S_n-t•2ⁿ（n∈N^*，t为常数且t∈[0，8]）的最小值g（t）．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列{a_n}中，a₁=1，a₅=9，可求a₃；
（2）当n≥2时，

bn

bn-1

=

2an

2an-1

=2an-an-1=2，可得数列{b_n}是等比数列；
（3）f(n)=

2

3

(4n-1)-t•2n=

2

3

(2n-

3t

4

)2-

3

8

t2-

2

3

，即可求函数f（n）=S_n-t•2ⁿ（n∈N^*，t为常数且t∈[0，8]）的最小值g（t）．

解答： 解：（1）a3=

a1+a5

2

=5---------（2分）
（2）由a₁=1，a₅=9得，a_n=2n-1
当n≥2时，

bn

bn-1

=4，
所以数列{b_n}是以2为首项，4为公比的等比数列-------（5分）
（3）由（2）可得，Sn=

2(1-4n)

1-4

=

2

3

(4n-1)------（7分）
所以，f(n)=

2

3

(4n-1)-t•2n=

2

3

(2n-

3t

4

)2-

3

8

t2-

2

3

∵t∈[0，8]，∴

3

4

t∈[0，6]，而n∈N^*
所以，当0≤t≤4时，f（n）_min=f（1）=-2t+2
当4＜t≤8时，f（n）_min=f（2）=-4t+10
故g(t)=

-2t+2    (0≤t≤4) -4t+10    (4＜t≤8)

----------（10分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．