Question

5．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n=m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn，则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N^*，b∈N^*}的真子集的个数是（　　）

• A． 2⁷-1
• B． 2¹¹-1
• C． 2¹³-1
• D． 2¹⁴-1

Answer 1

分析 由所给的定义，对a※b=16，a∈N^*，b∈N^*进行分类讨论，分两个数都是正奇数，与两个数不全为正奇数，两类进行讨论，确定出元素的个数即可求出集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N^*，b∈N^*}的真子集的个数．

解答 解：由题意，当m，n都是正奇数时，m※n=m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn；
若a，b都是正奇数，则由a※b=16，可得a+b=16，此时符合条件的数对为（1，15），（3，13），…（15，1）满足条件的共8个；
若m，n不全为正奇数时，m※n=mn，由a※b=16，可得ab=16，则符合条件的数对分别为（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）共5个；
故集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N^*，b∈N^*}中的元素个数是13，
所以集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N^*，b∈N^*}的真子集的个数是2¹³-1．
故选：C．

点评 本题考查元素与集合关系的判断，正确解答本量题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举，本题属于基本题，