Question

14．已知函数f（x）=a（x-2）•e^x-$\frac{1}{2}$x²+x．
（1）若a=1，求函数f（x）在（2，f（2））处切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求得a=1时，f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线的方程；
（2）求得f（x）的导数，并分解因式，对a讨论，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间．

解答 解：（1）f′（x）=e^xx-e^x-x+1（x∈R），故切线斜率f′（2）=e²-1，f（2）=0，
所以，切线方程（e²-1）x-y-2（e²-1）=0．
（2）令f′（x）=0，（x-1）（ae^x-1）=0，
当a∈（-∞，0]时，f（x）在（-∞，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
当$a∈（0，\frac{1}{e}）$时，f（x）在（-∞，1），$（ln\frac{1}{a}，+∞）$上为增函数，在$（1，ln\frac{1}{a}）$上为减函数
当$a=\frac{1}{e}$时，f（x）在R上恒为增函数
当$a∈（\frac{1}{e}，+∞）$时，f（x）在$（-∞，ln\frac{1}{a}）$，（1，+∞）上为增函数，在$（ln\frac{1}{a}，1）$上为减函数

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，注意运用分类讨论的思想方法，以及二次不等式的解法，属于中档题．