Question

16．已知函数f（x）为偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，若f（2）=-1，则f（1）+f（2）+…+f（2015）等于（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． -1003
• D． 1003

Answer 1

分析 根据题意：函数f（x）为偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，可求出f（x）是一个周期为4的函数．因为f（2）=-1，可以求f（0）=f（2）=f（4）=-1，当x=-1时，f（-1+2）=-f（-1），即f（1）=-f（1），可求f（1）=0，∵f（3）=-f（1）=0，∴f（1）=0，f（2）=-1，f（3）=0，f（4）=-1，不难发现f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，即可求．

解答 解：∵将f（x）的图象向右平移一个单位得到f（x-1），得到一个奇函数，
∴f（-x-1）=-f（x-1），
∵f（x）为偶函数，
∴f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1），
即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），即函数的周期是4．
当x=-1时，f（-1+2）=-f（-1），即f（1）=-f（1），可求f（1）=0
利用条件可以推得：f（-1）=f（1）=0，
f（2）=-f（0）=-1，
f（3）=f（4-1）=0，
f（4）=f（0）=1，
所以在一个周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）
=503×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2013）+f（2014+（2015）=0-1+0=-1，
故选：A．

点评 本题主要考查了函数的性质的运用和周期函数的理解，周期的求法会寻求数值之间的关系．属于中档题．