Question

15．已知A，B，C是球O的球面上三点，且$AB=AC=3，BC=3\sqrt{3}，D$为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D-ABC体积的最大值为$\frac{27}{4}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D-ABC体积的最大值可求．

解答 解：如图，在△ABC中，∵$AB=AC=3，BC=3\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得cosA=$\frac{{3}^{2}+{3}^{2}-（3\sqrt{3}）^{2}}{2×3×3}=-\frac{1}{2}$，则A=120°，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
设△ABC外接圆的半径为r，则$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2r$，得r=3．
设球的半径为R，则${R}^{2}=（\frac{R}{2}）^{2}+{3}^{2}$，解得$R=2\sqrt{3}$．
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴三棱锥D-ABC体积的最大值为$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{3}}{4}×3\sqrt{3}=\frac{27}{4}$．
故答案为：$\frac{27}{4}$．

点评 本题主要考查空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．