Question

4．在等腰△ABC中，AB=AC，|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{6}$，则△ABC面积的最大值为4．

Answer 1

分析 以BC为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，设C（m，0），A（0，n），B（-m，0），（m＞0，n＞0），根据向量的坐标运算，求出$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$=（3m，-n），
再根据向量的模的计算得到9m²+n²=24，根据基本不等式即可求出mn的最大值，即为△ABC面积的最大值．

解答 解：以BC为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，设C（m，0），A（0，n），B（-m，0），（m＞0，n＞0）
∴$\overrightarrow{AC}$=（m，-n），$\overrightarrow{BC}$=（2m，0），
∴$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$=（3m，-n），
∵|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{6}$，
∴9m²+n²=24，
∵24=9m²+n²≥2•3m•n=6mn，当且仅当3m=n时，即n=2$\sqrt{3}$，m=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$
∴mn≤4，
∴S_△ABC=mn≤4，
∴△ABC面积的最大值为4，
故答案为：4．

点评 本题考查了向量的坐标运算，模的计算，基本不等式的性质，属于中档题．