Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$的值域为（1，$\frac{2}{m}$），则实数m的值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$=1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$，根据函数f（x）的值域为（1，$\frac{2}{m}$），可得2＞m＞1，x→-∞，1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$→$\frac{2}{m}$，即可得出．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+m}{{e}^{x}+1}$=$\frac{{e}^{x}+1+m-1}{{e}^{x}+1}$=1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$，
∵函数f（x）的值域为（1，$\frac{2}{m}$），
∴2＞m＞1，x→-∞，1+$\frac{m-1}{{e}^{x}+1}$→$\frac{2}{m}$，
∴1+$\frac{m-1}{1}$=$\frac{2}{m}$，解得m=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了指数函数的单调性、极限的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．