Question

15．在Rt△ABC中，$\overrightarrow{AC}$=（3，2），$\overrightarrow{BC}$=（k，1），则k=$\frac{\sqrt{13}-3}{3}$或$\frac{-3-\sqrt{13}}{3}$或-$\frac{3}{2}$或$\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 先求出：$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$=（3-k，1），再求出|$\overrightarrow{AC}$|²，|$\overrightarrow{BC}$|²，|$\overrightarrow{AB}$|²，分别以AC为斜边，AB为斜边，BC为斜边，利用勾股定理能求出k的值．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$=（3-k，1），
|$\overrightarrow{AC}$|²=13，|$\overrightarrow{BC}$|²=k²+1，|$\overrightarrow{AB}$|²=（3-k）²+1=10+k²-6k，
如果AC为斜边，则13=2k²-6k+11，得k²-3k-1=0，得k=$\frac{\sqrt{13}-3}{3}$，或k=$\frac{-3-\sqrt{13}}{3}$，
如果AB为斜边，则10+k²-6k=14+k²，得k=-$\frac{3}{2}$，
如果BC为斜边，则k²+1=k²-6k+23，得k=$\frac{11}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}-3}{3}$或$\frac{-3-\sqrt{13}}{3}$或-$\frac{3}{2}$或$\frac{11}{3}$．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的坐标运算法则和分类讨论思想的合理运用．