Question

6．已知函数f（x）=e^x-a（x+1）（a∈R）（e是自然对数的底数）．
（1）若f（x）的图象与x轴相切，求实数a的值；
（2）当0≤a≤1时，求证：f（x）≥0；
（3）求证：对任意正整数n，都有（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜e．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（0）=0，求出a的值即可；
（2）只要求出函数的最小值，证明函数的最小值大于等于0即可；
（3）由函数的最小值，构造不等式，令x=$\frac{1}{2n}$，得出关于正整数n的不等式ln（1+$\frac{1}{2n}$）≤$\frac{1}{2n}$，运用累加法即可证明．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
若f（x）的图象与x轴相切，
则f′（0）=e⁰-a=0，解得：a=1；
（2）由f（x）=e^x-ax-a，f′（x）=e^x-a
①当a=0时，f（x）=e^x≥0恒成立，满足条件，
②当0＜a≤1时，由f′（x）=0，得x=lna，
则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在x=lna处取得极小值即为最小值，
f（x）_min=f（lna）=e^lna-alna-a=-alna
∵0＜a≤1，∴lna≤0，∴-alna≥0，∴f（x）_min≥0，
∴综上得，当0≤a≤1时，f（x）≥0；
（3）由（2）知，当a=1时，f（x）≥0 恒成立，所以f（x）=e^x-x-1≥0恒成立，
即e^x≥x+1，∴ln（x+1）≤x，令x=$\frac{1}{2n}$（n∈N₊），得ln（1+$\frac{1}{2n}$）≤$\frac{1}{2n}$，
∴ln（1+$\frac{1}{2}$）+ln（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）≤$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1{-（\frac{1}{2}）}^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜1，
∴（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜e．

点评 本题考查了函数的单调性，极值，恒成立问题，以及不等式的证明，运用了等价转化，分类讨论和化归思想．属于导数中的综合题，较难．