Question

15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）．

Answer 1

分析 （1）令x=x+2代入f（x+2）=-f（x）即可得出f（x+4）=f（x）；
（2）根据奇偶性与周期性即可得出f（x）=f（x-4）=-f（4-x）；
（3）根据周期可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）=f（0）+f（1）．

解答 解：（1）∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是周期为4的函数．
（2）当x∈[2，4]，4-x∈[0，2]，∴f（4-x）=2（4-x）-（4-x）²=-x²+6x-8，
∴f（x）=f（x-4）=-f（4-x）=x²-6x+8（x∈[2，4]）．
（3）∵f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（-1）=-f（1）=-1．
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）=$\frac{2016}{4}$[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]+f（2016）+f（2017）=f（0）+f（1）=1．

点评 本题考查了函数函数周期性、奇偶性的判断与应用，属于中档题．