Question

17．我国古代数学家赵爽利用“勾股圈方图”巧妙的证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．他是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为θ，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则$sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}$=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．

Answer 1

分析 根据四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形θ对应的边为x，另一边为y．可得2xy+1=25，x²+y²=25，从而解得x，y的值，sinθ=$\frac{x}{5}$

解答 解：由题意，设直角三角形θ对应的边为x，另一边为y．
可得2xy+1=25，x²+y²=25，
解得x=3，y=4，
则sinθ=$\frac{x}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∵锐角记为θ，
那么：令$sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}$=M＞0．
则1+sinθ=M²，
∴M²=$\frac{8}{5}$，
∴M=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，即$sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}$=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$
故答案为：$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查三角恒等变换及化简求值，半角公式的灵活运用，是中档题．