Question

已知等差数列{a_n²}满足首项a₁²=1，且公差d=1，a_n＞0，n∈N⁺．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=

1

an+1+an

，求数列{b_n}的前项和T_n，并求lg（T_n+1）的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式先求出求{a_n²}的通项公式即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出b_n=

1

an+1+an

的表达式，利用分母有理化进行化简求和即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n²}满足首项a₁²=1，且公差d=1，
∴a_n²=a₁²+（n-1）d=n，
∵a_n＞0，
∴a_n=

n

，
即数列{a_n}的通项公式a_n=

n

；
（Ⅱ）b_n=

1

an+1+an

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

；
则数列{b_n}的前项和T_n=

2

-1+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1；
则lg（T_n+1）=lg（

n+1

-1+1）=lg

n+1

，
则lg（T_n+1）的取值范围为{m|m=lg

n+1

，n∈N^•}

点评：本题主要考查等差数列的应用，以及数列求和，利用分母有理化进的方法是解决本题的关键．