Question

已知点A（-1，0），B（0，1），点P（x，y）为直线y=x-1上的一个动点．
（1）求证：∠APB恒为锐角；
（2）若|

.

PA

|=|

.

PB

|，求向量

PB

+

PA

的坐标．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）设出P的坐标，求出向量PA，PB的坐标，运用向量为锐角的条件，计算数量积，即可得证；
（2）运用向量模的公式，计算求出x，再由向量的加减坐标运算即可得到．

解答： （1）证明：点P（x，y）在直线y=x-1上，即点P（x，x-1），
即

PA

=(-1-x，1-x)，

PB

=(-x，2-x)，
即有

PA

•

PB

=2x2-2x+2=2(x2-x+1)=2[(x-

1

2

)2+

3

4

]＞0，
则cos＜

PA

，

PB

＞=

PA • PB

| PA || PB |

＞0，
若A，P，B三点在一条直线上，则

PA

∥

PB

，
得到（x+1）（x-2）-（x-1）x=0，方程无解，则∠APB≠0，
则有∠APB恒为锐角．
（2）解：由|AP|=|BP|，
即|

AP

|=|

BP

|，即

(x+1)2+(x-1)2

=

x2+(x-2)2

，
化简得到2x-1=0，即x=

1

2

，
则P(

1

2

，-

1

2

)，

PB

+

PA

=(-

3

2

，

1

2

)+(-

1

2

，

3

2

)=(-2，2)．

点评：本题考查向量的共线的坐标表示，以及向量的夹角为锐角的条件，考查向量模的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．