Question

18．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$．求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 点P在椭圆C上，利用椭圆的定义可得：2a=|PF₁|+|PF₂|=6．在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{2}{|}^{2}-|P{F}_{1}{|}^{2}}$=2c，又b²=a²-c²，即可得出．

解答 解：∵点P在椭圆C上，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{2}{|}^{2}-|P{F}_{1}{|}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故椭圆的半焦距c=$\sqrt{5}$，
从而b²=a²-c²=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．