Question

13．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，且（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$），则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． 45°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 135°

Answer 1

分析 根据$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）$即可得到$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）=0$，这样进行数量积的运算即可求出cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，进而便可得出向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：∵$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）$=$2{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^{2}$=$4-\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞-3=0$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为45°．
故选A．

点评 考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．