Question

已知函数f（x）=a-log₂x（0＜x≤4），函数F（x）=[f（x）]²-f（

x

2

）
（1）求函数F（x）的解析式并求出其定义域；
（2）记函数F（x）的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）做出函数y=|g（a）|，并根据图象，讨论方程|g（a）|-k=0的解的个数．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，0＜x≤4，0＜

1

2

x≤4，从而求函数F（x）的定义域，进而求函数F（x）的解析式；
（2）令t=log₂x，则t≤2；y=F（x）=t²-（2a-1）t+a²-a-1，讨论二次函数的最值，从而求函数的最值；
（3）做出函数y=|g（a）|图象，由图象直接得到方程|g（a）|-k=0的解的个数．

解答： 解：（1）由题意，0＜x≤4，0＜

1

2

x≤4，
则函数F（x）的定义域为[0，4]；
F（x）=[f（x）]²-f（

x

2

）
=[a-log₂x]²-（a-log₂

x

2

）
=log₂²x-（2a-1）log₂x+a²-a-1，
（2）令t=log₂x，则t≤2；
y=F（x）=t²-（2a-1）t+a²-a-1，
当

2a-1

2

≤2，即a≤

5

2

时，
F（x）的最小值为g（a）
=（

2a-1

2

）²-（2a-1）

2a-1

2

+a²-a-1=-

5

4

，
当

2a-1

2

＞2，即a＞

5

2

时，
F（x）的最小值为g（a）
=2²-（2a-1）2+a²-a-1
=a²-5a+5，
故g（a）=

- 5 4 ，a≤ 5 2 a2-5a+5，a＞ 5 2

，
（3）做出函数y=|g（a）|如下，

方程|g（a）|-k=0的解的个数可看作函数y=|g（a）|与y=k有交点的个数．
故当k=0时，方程|g（a）|-k=0有一个解，
当0＜k＜

5

4

时，方程|g（a）|-k=0有两个解，
当k=

5

4

时，方程|g（a）|-k=0有无数个解，
当k＞

5

4

时，方程|g（a）|-k=0有一个解．
综上所述，当k=0或k＞

5

4

时，方程|g（a）|-k=0有一个解，
当0＜k＜

5

4

时，方程|g（a）|-k=0有两个解，
当k=

5

4

时，方程|g（a）|-k=0有无数个解．

点评：本题考查了函数解析式的化简与函数最小值的求法，同时考查了函数的图象的作法及应用，属于难题．