题目内容
在三棱锥S-ABC中，△ABC是等腰三角形，AB=BC=2a，∠ABC=120°，且SA⊥平面ABC，SA=3a，求点A到平面SBC有距离．
考点：点、线、面间的距离计算
专题：计算题,解三角形,空间位置关系与距离
分析：运用余弦定理，求出AC，运用勾股定理求出SB，SC，再由余弦定理，求得cos∠SBC，再求sin∠SBC，再由面积公式，求得△SBC的面积，设点A到平面SBC有距离为d，再由VS-ABC=VA-SBC，运用体积公式，即可计算得到d．
解答：
解：由于△ABC是等腰三角形，AB=BC=2a，∠ABC=120°，
则AC=
=
=2
a，
SA⊥平面ABC，
则SA⊥AB，SA⊥AC，
则SB=
=
=
a，
SC=
=
a，
则三角形SBC中，cos∠SBC=
=-
．
则sin∠SBC=
=
，
即有S△SBC=
SB•BC•sin∠SBC=
×2
a×2a×
=
a2，
则设点A到平面SBC有距离为d，
则由VS-ABC=VA-SBC，
即有
SA•
AB•BC•sin∠ABC=
d•S△SBC，
即有d=
=
a．
即有点A到平面SBC有距离为
a．
解：由于△ABC是等腰三角形，AB=BC=2a，∠ABC=120°，则AC=
| AB2+BC2-2AB•CB•cos120° |
=
| 4a2+4a2+4a2 |
| 3 |
SA⊥平面ABC，
则SA⊥AB，SA⊥AC，
则SB=
| SA2+AB2 |
| 9a2+4a2 |
| 13 |
SC=
| AS2+AC2 |
| 21 |
则三角形SBC中，cos∠SBC=
| 12a2+4a2-21a2 | ||
2×2
|
=-
5
| ||
| 24 |
则sin∠SBC=
1-(
|
| ||
| 24 |
即有S△SBC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 24 |
=
| ||
| 4 |
则设点A到平面SBC有距离为d，
则由VS-ABC=VA-SBC，
即有
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
即有d=
3a•
| ||||||
|
12
| ||
| 167 |
即有点A到平面SBC有距离为
12
| ||
| 167 |
点评：本题考查空间线面垂直的性质及运用，考查勾股定理和余弦定理、面积公式的运用，考查棱锥体积的转换和公式的运用，属于中档题．
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下列命题中真命题是（ ）
| A、?x0∈R，ex0≤0 | ||
| B、?x∈R，2x＞x2 | ||
C、若a＜1，则
| ||
| D、a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 |
四棱锥A-BCDE的正视图和俯视图如图，其中正视图是等边三角形，俯视图是直角梯形．