Question

3．已知f（x）是R上的偶函数，且在（-∞，0]是减函数，若f（3）=0，则不等式$\frac{f（x）+f（-x）}{x}＜0$的解集是（　　）

• A． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• B． （-3，0）∪（3，+∞）
• C． （-∞，-3）∪（0，3）
• D． （-3，0）∪（0，3）

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．

解答 解：因为y=f（x）为偶函数，所以$\frac{f（x）+f（-x）}{x}＜0$等价为$\frac{2f（x）}{x}$＜0，
所以不等式等价为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$．
因为函数y=f（x）为偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，又f（3）=0，
所以f（x）在[0，+∞）是增函数，则对应的图象如图：
所以解得x＜-3或0＜x＜3，
即不等式的解集为（-∞，-3）∪（0，3）．
故选：C．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的性质，根据函数性质的综合应用，将不等式转化是解决本题的关键．