Question

5．若f（x）=ax²+（a-2）x+a²是偶函数，则${∫}_{-a}^{a}$（x²+x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx=$\frac{28}{3}$+2π．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性求出a的值，求定积分的值即可．

解答 解：若f（x）=ax²+（a-2）x+a²是偶函数，
则a-2=0，即a=2，
故f（x）=2x²+4，
则${∫}_{-a}^{a}$（x²+x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$）dx=${∫}_{-2}^{2}$x²dx+${∫}_{-2}^{2}$xdx+${∫}_{-2}^{2}$$\sqrt{4{-x}^{2}}$dx
=$\frac{1}{3}$x³${|}_{-2}^{2}$+$\frac{1}{2}$x²${|}_{-2}^{2}$+2π
=$\frac{28}{3}$+2π，
故答案为：$\frac{28}{3}$+2π．

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查求定积分的值，是一道中档题．