Question

10．如图所示，圆柱O₁O中，母线AB与底面垂直，BC是⊙O的直径，点D是⊙O的圆周上异于B，C的点．
（1）求证：平面ABD⊥平面ADC；
（2）若BD=2，CD=4，AC=6，求圆柱O₁O的表面积．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥CD，BD⊥CD，从而CD⊥平面ABD，由此能证明平面ABD⊥平面ADC．
（2）由勾股定理求出BC，AB，由此能求出圆柱O₁O的表面积．

解答 证明：（1）由已知可知AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD…（1分）
∵点D是⊙O的圆周上异于异于B，C的点，BC是⊙O的直径，
∴∠BDC是直角，即BD⊥CD…（2分）
又∵AB?平面ABD，BD?平面ABD，AB∩BD=B，
∴CD⊥平面ABD，…（4分）
∵CD?平面ADC，
∴平面ABD⊥平面ADC．…（6分）
解：（2）在Rt△BCD中，BD=2，CD=4，∠BDC=90°，
∴$BC=\sqrt{B{D^2}+C{D^2}}=\sqrt{{2^2}+{4^2}}=2\sqrt{5}$，…（8分）
由（1）知AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°
∴$AB=\sqrt{A{C^2}-B{C^2}}=\sqrt{{6^2}-{{（2\sqrt{5}）}^2}}=4$…（10分）
∴圆柱O₁O的表面积为：
S_表=S_侧+2S_底=$2π•\frac{BC}{2}•AB+2π•{（\frac{BC}{2}）^2}$=$（8\sqrt{5}+10）π$．…（14分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查圆柱的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．