Question

20．点A（-1，-1）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值为9．

Answer 1

分析 由题意可得m+n=1，整体代入化简可得$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵点A（-1，-1）在直线mx+ny+1=0上，
∴-m-n+1=0，故m+n=1，
又∵mn＞0，∴m、n为正数，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）（m+n）
=5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=9，
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$即m=$\frac{1}{3}$且n=$\frac{2}{3}$时取等号．
故所求的最小值为9
故答案为：9

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题．