Question

4．已知在各项为正的数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，${log_2}{a_{n+1}}+{log_2}{a_n}=n（n∈{N^*}）$，则${a_1}+{a_2}+…{a_{2017}}-{2^{1010}}$=-3．

Answer 1

分析 ${log_2}{a_{n+1}}+{log_2}{a_n}=n（n∈{N^*}）$，可得a_na_n+1=2ⁿ．可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2．数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，首项分别为1，2．利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵${log_2}{a_{n+1}}+{log_2}{a_n}=n（n∈{N^*}）$，
∴a_na_n+1=2ⁿ．
∴$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$，可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2．
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，首项分别为1，2．
则${a_1}+{a_2}+…{a_{2017}}-{2^{1010}}$=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₇）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）-2¹⁰¹⁰
=$\frac{{2}^{1009}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{1008}-1）}{2-1}$-2¹⁰¹⁰=-3．
故答案为：-3．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．