Question

已知：函数f（x）=m•cosx-sinx，（m∈R）
（1）当m=

3

时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设A(

π

6

，0)，B(

π

3

，0)，存在函数f（x）图象的一个对称中心落在线段AB上，求m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）先求出f（x）解析式，要使f（x）为单调增函数，只须2kπ-π≤x+

π

6

≤2kπ，k∈Z，从而可求得函数f（x）的单调递增区间；
（2）可求得y=

1+m2

sin(x+φ)，其中tanϕ=-m，可求f（x）图象对称中心为（kπ-ϕ，0），根据已知即可求出m的取值范围．

解答： 解：（1）、f（x）=2cos（x+

π

6

），------------------------------------------------------（2分）
要使f（x）为单调增函数，只须2kπ-π≤x+

π

6

≤2kπ，k∈Z，
即2kπ-

7π

6

≤x≤2kπ-

π

6

，（k∈z），
故所求函数单调增区间为[2kπ-

7π

6

，2kπ+

π

6

]，（k∈z）-----------------------（6分）
（2）、y=

1+m2

sin(x+φ)，其中tanϕ=-m，-------------------------------（8分）
∵f（x）图象对称中心为（kπ-ϕ，0），
∴由已知得

π

6

≤kπ-ϕ≤

π

3

，----------------------------------------------------------（10分）
即-

3

≤tanϕ≤-

3

3

，
故

3

3

≤m≤

3

．---------------------------------------------------------------------（12分）

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．