Question

（文科）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中点．其中正确的是

 

①面PAD⊥面PCD；
②AC与PB所成角的余弦值为

10

5

；
③面AMC与面BMC所成二面角的余弦值为-

2

3

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,异面直线及其所成的角,空间中直线与平面之间的位置关系,二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间角,空间向量及应用

分析：由题设，①可由面面垂直的判定定理直接证明，得出结论是正确的；
②③根据题设可选择用空间向量法来做，建立如图的空间坐标系，即可判断出两者也是正确的

解答： 解：①由题意，PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD，又四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，可得AD⊥CD，由线面垂直的判定定理可得CD⊥面PAD，再由面面垂直的判定定理可得面PAD⊥面PCD，故①正确；
②建立如图所示的坐标系，可得A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1），可得：

AC

=（1，1，0），

PB

=（0，2，-1），故AC与PB所成角的余弦值为|

AC • PB

| AC |×| PB |

|=

10

5

，故②正确；
③在MC上取一点N（x，y，z），则存在实数λ使

NC

=λ

MC

，

NC

=（1-x，1-y，y-z），

MC

=（1，0，-

1

2

），
x=1-λ，y=1，z=

1

2

λ，要使AN⊥MC，只需

AN

•

MC

=0，即x-

1

2

z=0，解得λ=

4

5

，
可知，当λ=

4

5

时，N点的坐标为（

1

5

，-1，

2

5

），此时有

AN

=（

1

5

，-1，

2

5

），

BN

=（-

1

5

，1，-

2

5

），
此时有

AN

•

BN

=0，故可得AN，BN都与MC垂直，故∠ANB即为所求二面角的平面角，
又cos∠ANB=

AN • BN

|AN||BN|

=

- 1 5 × 1 5 -1×1- 2 5 × 2 5

( 1 5 )2+(-1)2+( 2 5 )2 × (- 1 5 )2+(1)2+(- 2 5 )2

=-

2

3

，故③正确
综上得①②③都正确
故答案为：①②③

点评：本题考查空间中面面垂直的判断，线线角与面面角的求法，是立体几何中综合性较强的题，运算难度大，由于本题的二面角的平面角用传统方法不易找出，利用空间向量解此类题比较有效