Question

9．已知集合A=[-3，3]，B=[-2，2]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．
（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x²+y²=4内的概率；
（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于$\sqrt{2}$的概率．
（提示：可以考虑采用数形结合法）

Answer 1

分析 （1）集合M表示的区域的面积为6×4=24，此圆x²+y²=4的面积表示满足条件的基本事件，所求为面积比；
（2）求出满足以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于$\sqrt{2}$面积，则求面积比即可．

解答 解：（1）A=[-3，3]，B=[-2，2]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，表示的区域的面积为6×4=24．
圆x²+y²=4的面积为4π，
∴以（x，y）为坐标的点落在圆x²+y²=4内的概率为P₁=$\frac{4π}{24}$=$\frac{π}{6}$，
（2）由题意，到直线x+y=0的距离不大于$\sqrt{2}$的点为夹在两条平行直线x+y-2=0与x+y+2=0之间的范围内，如图所示，
故所求事件的概率为${P_2}=\frac{{6×4-2×\frac{1}{2}×3×3}}{6×4}=\frac{5}{8}$．

点评 本题考查了几何概型的概率求法，关键是将所求的概率利用基本事件的集合度量即区域的长度或者面积或者体积表示，求比值．