Question

2．已知函数f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（1）求f（x）的最小正周期和增区间
（2）（6分）当x∈[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{4}$]时，求f（x）的最大值和最小值，并指出f（x）取得最值时对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得f（x）的最小正周期和增区间．
（2）当x∈[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{4}$]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值，并指出f（x）取得最值时对应的x的值．

解答 解：（1）因为f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1=4cosx•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-1
=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故f（x）的最小正周期为π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得函数的 增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）∵-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{4}$，∴-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$，当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值2；
当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值-1．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．