Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=n（n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}（n∈{N^*}）$，变形为$\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}-\frac{2^n}{a_n}=1$，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）${b_n}=n（n+1）{a_n}=n•{2^n}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）解：数列{a_n}满足a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}（n∈{N^*}）$，
∴$\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2^n}{a_n}+1$，
即$\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}-\frac{2^n}{a_n}=1$，∴数列$\{\frac{2^n}{a_n}\}$是公差为1的等差数列．
可得$\frac{2^n}{a_n}=\frac{2}{a_1}+n-1=n+1$，∴${a_n}=\frac{2^n}{n+1}$．
（2）${b_n}=n（n+1）{a_n}=n•{2^n}$，
∴${S_n}=1×2+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n•{2^n}$，$2{S_n}={2^2}+2×{2^3}+…+（n-1）•{2^n}+n•{2^{n+1}}$，
两式相减得：$2{S_n}-{S_n}=2+{2^2}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}=\frac{{2（{2^n}-1）}}{2-1}-n•{2^{n+1}}$=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴${S_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+2$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．