题目内容

已知
m
，
n
是两个单位向量，它们的夹角为60°，设
a
=2
m
+
n
，
b
=-3
m
+2
n
．求向量
a
与
b
的夹角．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：利用向量的数量积定义及其运算性质即可得出．
解答： 解：∵
m
，
n
是两个单位向量，它们的夹角为60°，∴
m
•
n
=1×1×cos60°=
1
2
．
∵
a
=2
m
+
n
，
b
=-3
m
+2
n
．∴
a
•
b
=-6
m
2+2
n
2+
m
•
n
=-6+2+
1
2
=-
7
2
．
|
a
|=
4
m
2+
n
2+4
m
•
n
=
4+1+4×
1
2
=
7
，|
b
|=
9
m
2+4
n
2-12
m
•
n
=
9+4-12×
1
2
=
7

时向量
a
与
b
的夹角为θ．
∴cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
-
7
2
7
×
7
=-
1
2
．
∴θ=120°．
点评：本题考查了向量的数量积定义及其运算性质，属于基础题．
练习册系列答案
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（1）log327+lg
1
10000
+ln(e
e
)+log2(log216)+8
2
3
-(
16
81
)- 
1
4
．
（2）已知f(α)=
sin(α-3π)cos(2π-α)sin(α+
π
2
)
cos(-π-α)sin(π-α)
，化简f（α）．
已知a＞0且a≠1，设p：函数y=an在x∈（0，+∞）内单调递减；q：曲线y=x2+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p和q有且仅有一个为真，求a的取值范围．
阅读如图程序框图，
（1）试将此程序框图写成计算机程序（用当型循环结构写）；
（2）写出此程序执行后输出的结果；
（3）若判断框里变成n＜2k=17，其中k为大于1的正整数，写出程序执行后输出的结果．
已知A，B，C为锐角△ABC的三个内角，向量
m
=（2-2sinA，cosA+sinA），
n
=（1+sinA，cosA-sinA），且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求下列函数：y=2sin2B+cos（
2π
3
-2B）的值域．
已知f（x）-2f（
1
x
）=3x+2，求f（x）的值．
解下列方程：
（1）x -
1
3
=
1
8
     
（2）2x 
3
4
-1=15   
（3）log2（2x+1）=log2（x2-2）
（4）lg
x-1
=lg（x-1）．
给出下列命题：
①函数y=f（x）的图象在区间[a，b]上连续不断，则“能用二分法求函数y=f（x）在区间（a，b）上的零点”的一个充要条件是“函数在y=f（x）区间（a，b）上有零点”；
②函数y=3sin（2x+
π
3
）的图象可将y=3cos2x的图象向左平移
π
12
个单位而得到；
③直线
x
a
-
y
b
=1（a＞0，b＞0）将圆x2+y2-2x+4y+3=0的弧分成相等的两部分，则a+b的最小值为3+2
2
；
④在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC与平面ABC所成角相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的内心；
⑤函数y=
4-x2
|x-3|-3
的图象关于原点成中心对称．
其中真命题的是
 
．（写出所有真命题的编号）
已知正实数x，y，z满足2x（x+
1
y
+
1
z
）=yz，则（x+
1
y
）（x+
1
z
）的最小值为
 
．

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