Question

14．已知命题p：y=log_a（2-ax）在[0，1]上是减函数；命题$q：y=lg（a{x^2}-x+\frac{a}{12}）$的值域是R，若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q为真命题的等价条件，然后利用“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，确定实数a的取值范围．

解答 解：∵y=log_a（2-ax）在区间[0，1]上为减函数，∴a＞1．
又∵2-ax＞0在[0，1]上恒成立，
2-a＞0，即a＜2，
∴1＜a＜2．
$y=lg（a{x}^{2}-x+\frac{a}{12}）$的值域是R，
∴$a{x}^{2}-x+\frac{a}{12}$的值域为（0，+∞）；
①若a=0，-x的值域可以为（0，+∞）；
②若a≠0，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，
解得0＜a$≤\sqrt{3}$．
∴a的取值范围是：0≤a$≤\sqrt{3}$．
由题意可知p真：1＜a＜2；q真：0≤a$≤\sqrt{3}$．
∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题
∴p、q一真一假．
当p真q假时$\sqrt{3}＜a＜2$，当p假q真时0≤a≤1．
综上，a的取值范围是$（{\sqrt{3}，2}）$∪[0，1]．

点评 本题主要考查复合命题的真假判断以及应用，是中档题．