某培训机构对沈阳市两所高中的学生是否愿意参加自主招生培训的情况进行问卷调查和考试测验.从两所学校共随机抽取100位同学进行调查.统计结果如表:自招学校愿意不愿意A学校4610B学校2420(1)判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否愿意参加自主招生培训与学校有关?(2)考试测验中分客观题和主观题.客观题共有8道.每道分值5分.学生李华答对每道客� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．某培训机构对沈阳市两所高中的学生是否愿意参加自主招生培训的情况进行问卷调查和考试测验，从两所学校共随机抽取100位同学进行调查，统计结果如表：

自招学校	愿意	不愿意
A学校	46	10
B学校	24	20

（1）判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否愿意参加自主招生培训与学校有关？
（2）考试测验中分客观题和主观题，客观题共有8道，每道分值5分，学生李华答对每道客观题的概率均为0.8．主观题共有8道，每道分值12分，须随机抽取5道主观题作答，其中李华完全会答的有4道，不完全会的有4道，不完全会的每道主观题得分S的概率满足：P（S=3k）=$\frac{k}{6}$，k=1，2，3，假设解答各题之间没有影响．
①对于一道不完全会的主观题，李华得分的数学期望是多少？
②求李华在本次测验中得分ξ的数学期望．
临界值参考表：

P（K²≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

参考公式：k=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

分析（1）由表中数据可得K²的观测值，与临界值比较，即可得出结论；
（2）①直接利用公式，可得李华得分的数学期望；
②直接利用公式求出E（X），E（Y），即可求出李华在本次测验中得分ξ的数学期望．

解答解：（1）由表中数据可得K²的观测值：$k=\frac{{100×{{（46×20-24×10）}^2}}}{70×30×44×56}≈8.936$
因为8.936＞6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为愿意参加自主招生培训与学校有关…（4分）
（2）①由题意$E（S）=3×\frac{1}{6}+6×\frac{2}{6}+9×\frac{3}{6}=7$（分）…（6分）
②设李华答对客观题的个数为随机变量X，李华抽取的5道主观题中完全会答的个数为随即变量Y，
完全会答的为5-Y，则依据题意有：X～B（8，0.8），Y服从参数为8，4，5的超几何分布，
于是 E（X）=8×0.8=6.4，$E（Y）=\frac{4×5}{8}=2.5$…（9分）
因为ξ=5X+12Y+7（5-Y）=5X+5Y+35，…（10分）
所以Eξ=E（5X+5Y+35）=5E（X）+5E（Y）+35=79.5（分）…（12分）

点评本题主要考查独立性检验知识，考查了离散型随机变量的期望与方差，以及离散型随机变量及其分布列，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．