Question

19．设函数f（x）=lg（1-|x|）+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，则使得f（2x+1）≥f（x）成立的x的取值范围是（-1，-$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 由题知此函数为偶函数，通过（0，+∞）的单调性将不等式问题转化为距离问题，直接解不等式，注意函数定义域．

解答 解：由题知f（x）为偶函数，f（|2x+1|）≥f（|x|），
又因为f（x）在（0，+∞）为单调递减的，所以|2x+1|≤|x|，解得$-1≤x≤-\frac{1}{3}$
又因为f（x）的定义域为1-|x|＞0，即（-1，1），
所以x的取值范围是$（-1，-\frac{1}{3}]$，
故答案为：$（-1，-\frac{1}{3}]$．

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用，属于中档题．